بحث در تعداد ریشه های معادله پارامتری درجه 4 

موضوع مربوط : حسابان 1 ، روابط بین ریشه ها وصفرهای تابع 

  سوال : به ازای چه مقادیری  از m   معادله درجه چهارم ${x^4} - (m + 1){x^2} - 2m + 1 = 0$
   

                           دارای 4 یا 3 یا 2 یا 1 یا 0  ریشه است؟

پاسخ  :  با تغییر متغیر  خواهیم داشت ${x^2} = t \Rightarrow {t^2} - (m + 1)t - 2m + 1 = 0$ 
             اگر معادله نوشته شده دارای

الف) دوریشه متمایز مثبت آنگاه معادله اصلی 4 ریشه :    \[\begin{array}{l} \Delta > 0\,\,\,,\,\,\,S > 0\,\,,\,\,P > 0\\ \Delta > 0 \Rightarrow {(m + 1)^2} - 4( - 2m + 1) = {m^2} + 10m - 3 > 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow m > - 5 + 2\sqrt 7 \,\,\, \vee \,\,m < - 5 - 2\sqrt 7 \,\,\,\,(1)\\ S > 0\, \Rightarrow - \frac{b}{a} = m + 1 > 0 \Rightarrow m > - 1\,\,\,(2)\\ P > 0 \Rightarrow \frac{c}{a} = - 2m + 1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{2}\,\,\,\,(3)\\ (1) \cap (2) \cap (3) \Rightarrow m \in ( - 5 + 2\sqrt 7 ,\frac{1}{2}) \end{array}\]   
ب) دوریشه متمایز منفی آنگاه معادله اصلی بدون ریشه : 
\begin{array}{l} \Delta > 0\,\,\,,\,\,\,S < 0\,\,,\,\,P > 0\\ \Delta > 0 \Rightarrow {(m + 1)^2} - 4( - 2m + 1) = {m^2} + 10m - 3 > 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow m > - 5 + 2\sqrt 7 \,\,\, \vee \,\,m < - 5 - 2\sqrt 7 \,\,(1)\,\\ S < 0\, \Rightarrow - \frac{b}{a} = m + 1 < 0 \Rightarrow m < - 1\,\,\,\,\,(2)\\ P > 0 \Rightarrow \frac{c}{a} = - 2m + 1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{2}\,\,\,\,(3)\\ (1) \cap (2) \cap (3) \Rightarrow m \in ( - \infty \,,\, - 5 - 2\sqrt 7 ) \end{array}

پ) دوریشه متمایز یک مثبت و دیگری منفی آنگاه معادله اصلی 2 ریشه :    

\[\begin{array}{l} \Delta > 0\,\,\,,\,\,\,P < 0\\ \Delta > 0 \Rightarrow {(m + 1)^2} - 4( - 2m + 1) = {m^2} + 10m - 3 > 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow m > - 5 + 2\sqrt 7 \,\,\, \vee \,\,m < - 5 - 2\sqrt 7 \,\,\,(1)\\ P < 0 \Rightarrow \frac{c}{a} = - 2m + 1 < 0 \Rightarrow m > \frac{1}{2}\,\,\,(2)\\ (1) \cap (2) \Rightarrow m \in (\frac{1}{2}\,\,,\, + \infty ) \end{array}\]

ت)دوریشه متمایز یکی مثبت و دیگری صفر آنگاه معادله اصلی 3 ریشه :

\[\begin{array}{l} \Delta > 0\,\,\,,\,\,\,S > 0\,\,,\,\,P = 0\\ \Delta > 0 \Rightarrow {(m + 1)^2} - 4( - 2m + 1) = {m^2} + 10m - 3 > 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow m > - 5 + 2\sqrt 7 \,\,\, \vee \,\,m < - 5 - 2\sqrt 7 \,\,\,\,\,\,\,(1)\\ S > 0\, \Rightarrow - \frac{b}{a} = m + 1 > 0 \Rightarrow m > - 1\,\,\,\,\,\,(2)\\ P = 0 \Rightarrow \frac{c}{a} = - 2m + 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{2}\,\,\,\,(3)\\ (1) \cap (2) \cap (3) \Rightarrow m \in \left\{ {\frac{1}{2}} \right\} \end{array}\]
ث)دوریشه یکی منفی و دیگری صفر آنگاه معادله اصلی 1 ریشه :   
\begin{array}{l} \Delta > 0\,\,\,,\,\,\,S < 0\,\,,\,\,P = 0\\ \Delta > 0 \Rightarrow {(m + 1)^2} - 4( - 2m + 1) = {m^2} + 10m - 3 > 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow m > - 5 + 2\sqrt 7 \,\,\, \vee \,\,m < - 5 - 2\sqrt 7 \,\,\,\,\,\,(1)\\ S < 0\, \Rightarrow - \frac{b}{a} = m + 1 < 0 \Rightarrow m < - 1\,\,\,\,\,\,(2)\\ P = 0 \Rightarrow \frac{c}{a} = - 2m + 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,(3)\\ (1) \cap (2) \cap (3) \Rightarrow \emptyset \end{array}
ج)ریشه مضاعف مثبت آنگاه معادله اصلی 2 ریشه :               
\begin{array}{l} \Delta = 0\,\,\,,\,\,\,S > 0\,\,,\,\,P > 0\\ \Delta = 0 \Rightarrow {(m + 1)^2} - 4( - 2m + 1) = {m^2} + 10m - 3 = 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow m = - 5 + 2\sqrt 7 \,\,\, \vee \,\,m = - 5 - 2\sqrt 7 \,\,\,\,\,(1)\\ S > 0\, \Rightarrow - \frac{b}{a} = m + 1 > 0 \Rightarrow m > - 1\,\,\,\,(2)\\ P > 0 \Rightarrow \frac{c}{a} = - 2m + 1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{2}\,\,\,\,\,(3)\\ (1) \cap (2) \cap (3) \Rightarrow m \in \left\{ { - 5 + 2\sqrt 7 } \right\} \end{array}
چ)ریشه مضاعف منفی آنگاه معادله اصلی بدون ریشه :           
\begin{array}{l} \Delta = 0\,\,\,,\,\,\,S < 0\,\,,\,\,P > 0\\ \Delta = 0 \Rightarrow {(m + 1)^2} - 4( - 2m + 1) = {m^2} + 10m - 3 = 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow m = - 5 + 2\sqrt 7 \,\,\, \vee \,\,m = - 5 - 2\sqrt 7 \,\,\,\,\,(1)\,\,\,\\ S < 0\, \Rightarrow - \frac{b}{a} = m + 1 < 0 \Rightarrow m < - 1\,\,\,\,\,(2)\\ P > 0 \Rightarrow \frac{c}{a} = - 2m + 1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{2}\,\,\,\,\,(3)\\ (1) \cap (2) \cap (3) \Rightarrow m \in \left\{ { - 5 - 2\sqrt 7 } \right\} \end{array}
ح)ریشه مضاعف صفر آنگاه معادله اصلی 1 ریشه  :     
\[\begin{array}{l} \Delta = 0\,\,\,,\,\,\,S = 0\,\,,\,\,P = 0\\ \\ \Delta = 0 \Rightarrow {(m + 1)^2} - 4( - 2m + 1) = {m^2} + 10m - 3 = 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow m = - 5 + 2\sqrt 7 \,\,\, \vee \,\,m = - 5 - 2\sqrt 7 \,\,\,\,(1)\\ S = 0\, \Rightarrow - \frac{b}{a} = m + 1 = 0 \Rightarrow m = - 1\,\,\,\,\,\,\,(2)\\ P = 0 \Rightarrow \frac{c}{a} = - 2m + 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,(3)\\ (1) \cap (2) \cap (3) \Rightarrow \emptyset \end{array}\]             

خ)ریشه حقیقی نداشته باشد آنگاه معادله اصلی بدون ریشه : 
 \begin{array}{l} \Delta < 0\,\\ \Delta < 0 \Rightarrow {(m + 1)^2} - 4( - 2m + 1) = {m^2} + 10m - 3 < 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow m \in ( - 5 - 2\sqrt 7 \,\, < m < - 5 + 2\sqrt 7 )\, \end{array}